2의 제곱근이 무리수임을 증명

2의 제곱근이 무리수임을 증명

문제

2의 제곱근은 무리수이다.

역설을 이용한 증명

1. 우선 반대를 가정해보자, 즉 √2가 유리수라고 가정한다.
   • 따라서, 이를 분수로 표현할 수 있다, √2 = a/b, 여기서 a와 b는 모두 정수이고 b는 0이 아니다.
   • 또한, 분수 a/b는 가장 간단한 형태라고 가정하면 a와 b는 서로소이다 (즉, 두 수를 모두 나눌 수 있는 양의 정수는 1밖에 없다).
2. √2 = a/b에서 양변을 제곱하면 제곱근을 없앨 수 있으며, 이를 통해 2 = a²/b²를 얻을 수 있다.
   • 식을 변형하면 2b² = a²를 얻을 수 있다.
3. 2b² = a²에서 a²는 어떤 수에 2를 곱한 값이므로 짝수라는 것을 알 수 있다.
4. a²가 짝수라면, a도 짝수여야 한다(왜냐하면 홀수의 제곱은 항상 홀수이기 때문이다).
   • 따라서, a를 어떤 정수 k의 2배, 즉 2k로 표현할 수 있다.
5. a = 2k를 2b² = a²에 대입하면 2b² = (2k)² = 4k²를 얻을 수 있다.
6. 이를 간단히 하면 b² = 2k²를 얻을 수 있다.
7. 그래서 b²도 짝수이므로, b도 짝수이다.

그러나 이제 모순이 발생했다. a와 b 모두 짝수라는 것을 증명했는데, 이는 초기에 제시한 a와 b는 1외에 공약수가 없다는 명제와 모순된다.

따라서, 초기에 √2가 유리수라고 가정했던 것이 잘못되었다.

결국, √2가 무리수임을 결론지을 수 있다.

증명 종료